МИНИСТЕРСТВО
НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
РОССИЙСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРАВА
Факультет управления
Кафедра “Моделирование в экономике и управлении”
Курс
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В УПРАВЛЕНИИ
Программа на осенний семестр
для
специальностей:
061100
- Менеджмент, 061000 - Государственное и муниципальное управление,
Международное управление
Москва
2004
Общие положения
Общепрофессиональный курс "Математические модели в
управлении"
читается студентам второго курсов дневной формы обучения
факультета управления по специальностям: 061000 – “Государственное и
муниципальное управление”, “Сеждународное
управление”, 061100 – “Менеджмент”.
Курс читается два семестра
и охватывает основные темы теории принятия решений и исследования операций.
Предмет изучения
дисциплины –
математические модели и методы принятия решений и решения задач исследования
операций.
Цель курса – сформировать у студентов комплекс
знаний необходимых для:
• анализа проблем,
возникающих в области производства, торговли, финансов, денежного обращения и
кредитов;
• постановки задач
проведения мероприятий и операций в различных сферах человеческой деятельности;
• формулирования проблем в
управлении и проведении мероприятий в виде математических моделей;
• прогнозирования будущих
ситуаций в условиях неопределенности с целью принятия оптимального решения;
• решения оптимизационных
задач и задач выбора наилучших решений с применением ЭВМ ;
Задачи курса – научить студентов:
• владеть приемами
постановки задач организационного управления;
• на основе описательных
задач строить математические модели;
• умению выбрать
соответствующий метод решения задачи;
• проведению численных
исследований математических моделей;
• умению проведения анализа
результатов вычислений;
• умению выбрать наиболее
перспективное управляющее решение.
Курс "Математические
модели в управлении" совместно с курсами "Математика",
"Социальная статистика", "Информатика", "Компьютерные
системы и сети", "Информационные технологии в управлении",
кафедры информационно-вычислительных систем, представляет целостную систему
знаний в области математических методов и информационных технологий,
необходимую современному специалисту для решения задач организационного
управления.
Особенностью программы для студентов факультета управления
является:
• рассмотрение актуальных
проблем организационного управления в различных структурах –
- производственных, торговых, финансово-кредитных;
• применение математических
методов при анализе и выработки управляющих решений.
Изучив курс, студент:
должен владеть методами
исследования операций и методами бизнес-прогнозирования;
уметь использовать
математические методы при решении задач управления;
должен уметь использовать в
своей работе средства вычислительной техники и современных информационных
технологий.
В ходе изучения курса для
студентов предполагаются следующие формы отчетности:
• контрольные работы;
• коллоквиумы;
• выполнение и защита
лабораторных работ;
• сдача зачета и экзамена.
Рейтинговая система
оценки знаний
студентов.
Для оценки полученных
студентом знаний используется рейтинговая система оценки студента, который
должен набрать в течение семестра 100 балов. Структура рейтинговых оценок в
осеннем семестре показана в табл.:
Структура Рейтинговых оценок работы студентов в течение
семестра
|
Содержание оценки |
Макс. оценка в семестре, баллы |
Примечание |
|
Суммарная рейтинговая оценка за семестр |
100 |
|
|
Итоговая контрольная работа в конце семестра |
45 |
|
|
Аттестация в течение
семестра Эта оценка слагается из: 1. Контрольная работа в середине семестра 2. Коллоквиум 3. Суммарная оценка за выполнение всех трех тем на
лабораторных работах с применением Excel. Эта оценка слагается из: 1. Лабораторная работа по решению на компьютере задач
линейного программирования 2. Лабораторная работа по решению на компьютере транспортных
несбалансированных задач 3. Лабораторная работа по решению задач линейного программирования с бинарными переменными |
55 25 15 15 5 5 5 |
Проставляется в конце
семестра перед выполнением итоговой контрольной работы В контрольную работу
входят три вопроса с задачами. Вопросы 1, 2 и 3 оцениваются в 8, 8 и 9 баллов
соответствен. Коллоквиум может быть
проведен в письменной или устной форме См. Методические
материалы по Лабораторной раб. №1 См. Методические материалы
по Лабораторной раб. №2 См. Методические
материалы по Лабораторной раб. №4 Все Лабораторные работы содержатся на сайте кафедры meu.rsuh.ru в разделе “Математические модели в управлении” |
• оценка
"отлично" – 91 – 100 балов;
• оценка "хорошо"
– 75 – 90 балов;
• оценка
"удовлетворительно" – 60 – 74 балов;
• оценка
"неудовлетворительно – менее 60 балов.
Формы проведения занятий: лекции, лабораторные работы и
семинары.
Объем курса на дневном отделении:
Осенний семестр:
Лекции – 28 час, всего 14
лекций;
Лабораторные работы и
семинары – 80 час, по 5 лабораторных работ и семинаров на подгруппу
Контрольные работы – две,
коллоквиум – один
Весенний семестр:
Лекции – 20 час, всего 10
лекций
Лабораторные работы и
семинары – 80 час, по 5 лабораторных работ и семинаров на подгруппу
Контрольные работы – две,
коллоквиум – один
Программа курса
“Математические модели в управлении”
Осенний семестр. Лекции 1 –
14
1. Понятия управления и
принятия решений
Уровни управления – стратегический, тактический и
оперативный. Взаимосвязь принятия решений с уровнями управления.
Понятие цели в управлении и принятии решения.
Взаимосвязь цели с выбором решения.
Понятия управляемых и
неуправляемых факторов, их роль в принятии решения. Понятие об ограничениях на условия, в
которых принимаются решения.
Различные способы
принятия решений.
Исследование операций, как наука о математически,
количественных методах для обоснования и принятия наилучших, в некотором
смысле, решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности.
Основные понятия
Исследования операций
– операция, решение, оптимальное решение, Лицо
принимающее решение (ЛПР), целевая функция и критерий (показатель)
эффективности, множество допустимых (возможных) решений.
2. Модели и моделирование.
Их виды
Понятие о модели и
моделировании.
Виды моделей и
моделирования –
Аналоговые, Физические, Математические.
Понятие об Аналоговых
моделях и аналоговом моделировании, их примеры.
Понятие о Физических
моделях и физическом моделировании, их примеры.
Понятие о Математических
моделях и математическом моделировании, их примеры
3. Математические модели и
их виды
Виды математических
моделей.
Линейные математические модели, примеры.
Нелинейные математические модели, примеры.
Детерминированные математические модели, примеры.
Стохастические математические модели, примеры.
Виды неопределенностей: случайные и непредсказуемые, примеры.
Стационарные математические модели, примеры.
Нестационарные математические модели, примеры.
Математическая модель народонаселения – Мальтуса и Ферхюльста.
Пример математической модели рекламной компании. Математическая модель зарплаты
и занятости населения
Модели в виде графов,
пример. Понятие о задаче коммивояжера. Понятие Дерева решений.
Сетевые модели, пример сетевого графика
строительства загородного дома.
Оптимизационные математические модели.
Математическое программирование. Постановка задачи оптимизации: максимум (или
минимум) целевой функции, система ограничений. Понятия задач Линейного программирования,
Нелинейного программирования. Понятие многокритериальных задач математического
программирования.
Этапы построения
математической модели
и принятия решения.
4. Математические модели
задач линейного программирования
Задача (математическая
модель) использования ресурсов или задача планирования производства. Пример. Общая
постановка задачи линейного программирования об использовании ресурсов.
Задача (математическая
модель) о составлении рациона или задача о диете. Пример. Общая постановка задачи линейного
программирования о составлении рациона.
Транспортная задача (математическая модель). Пример.
Общая постановка транспортной задачи линейного программирования. Условия
баланса транспортной задачи. Открытая и закрытая транспортная задача. Фиктивный
поставщик и фиктивный потребитель.
Задачи, сводящиеся к
транспортной задаче
линейного программирования. Пример задачи формирования оптимального штата
фирмы. Пример. Общая постановка задачи формирования оптимального штата фирмы.
Целочисленные задачи
линейного программирования. Задача о ранце, формулировка в общем виде. Задача закрепления
самолетов за воздушными линиями. Пример и постановка в общем виде.
Целочисленные задачи с
булевыми (бинарными, двоичными) переменными. Задача о ранце в общей постановке. Задача о
назначениях (распределительная задача) в общей постановке.
Формулировка общей
задачи линейного программирования. Понятие стандартной формы и канонической формы задач
линейного программирования. Равносильность задач максимизации и минимизации,
пример.
5. Графический метод
решения задач линейного программирования
Вспомогательные сведения: Различные
способы задания уравнения прямой; индексные переменные; взаимное расположение
прямых и соответствующие им уравнения – пересечение, параллельность,
совпадение; определение точек пересечения прямых; вектор-градиент, показывающий
направление возрастания линий уровня (для прямых); линейные неравенства и их
графическая интерпретация; разбиение на две полуплоскости; понятие выпуклости
областей на вербальном уровне – пересечение любого количества полуплоскостей
определяет выпуклую область или многоугольник.
Графический метод решения задач линейного
программирования с двумя переменными.
Пример графического решения
задачи линейного программирования: содержательная постановка задачи на примере
распределения ресурсов. Построение Области (многоугольника) допустимых решений,
построение прямой, моделирующей целевую функцию, построение вектора-градиента,
указывающего направление сдвигания прямой, моделирующей целевую функцию, в
сторону возрастания целевой функции; определение вершины выпуклой области
допустимых решений, в которой достигается экстремум целевой функции. Различные
случаи, которые могут встретиться при решении задач линейного программирования
и их графическая интерпретация.
6. Симплекс-метод решения
задач линейного программирования.
Необходимость применения
симплекс-метода для решения задач линейного программирования для числа
переменных большего двух.
Приведение задачи линейного программирования
заданной в стандартной форме к канонической форме.
Общие
сведения из теории линейного программирования: линейная независимость m
уравнений-ограничений с n неизвестными; условие
единственности решения системы m линейных уравнений с
m неизвестными; бесконечное число решений m уравнений-ограничений с n
неизвестными, m<n;
понятие базисных переменных и свободных переменных; неравенство нулю
определителя, составленного из коэффициентов при базисных переменных, как
условие выбора базисных переменных; допустимые решения системы m уравнений-ограничений с n
неизвестными; базисные решения; понятие выпуклого многогранника в n мерном пространстве, определяющего область допустимых
решений, – как совокупность всех допустимых решений системы m
уравнений-ограничений с n неизвестными; понятие
вершины выпуклого многогранника допустимых решений, как базисного решения
соответствующего нулевым значениям свободных переменных; оптимальное решение и
его связь с базисным решением. Три правила определения базисных
переменных.
Сущность симплекс-метода, как целенаправленный перебор
вершин многогранника в направлении возрастания целевой функции, в случае поиска
ее максимума, и в направлении убывания целевой функции – в случае поиска ее
минимума.
Алгоритм симплекс-метода на конкретном примере. Запись
задачи линейного программирования в канонической форме, путем введения
дополнительных неотрицательных переменных. Определение базисных и свободных
переменных, согласно трем правилам выбора базисных переменных. Выбор
первоначальной вершины многогранника допустимых решений, с которой начинается
процедура симплекс-метода. Переход в новую вершину, если оптимальное значение
целевой функции не достигнуто. Критерии остановки симплекс-метода при
достигнутом оптимуме целевой функции в случае поиска максимума и в случае поиска
минимума целевой функции.
7. Дробно-линейные
математические модели (Задачи дробно-линейного программирования)
Примеры задач,
приводящие к задачам дробно-линейного программирования. Понятия себестоимости выпускаемой
продукции, рентабельности производства и производительности труда, приводящие к
дробно-линейному виду целевой функции. Примеры задач с дробно-линейной
математической моделью.
Общая постановка задач дробно-линейного
программирования.
Метод графического
решения задач
дробно-линейного программирования в случае двух переменных. Применение метода
на конкретном примере определения минимума себестоимости продукции. Графическая
интерпретация дробно-линейной целевой функции. Критерий, указывающий
направление вращения вокруг начала координат прямой-целевой функции в направлении ее возрастания.
Применение графического метода на конкретном примере определения максимума
рентабельности производства. Различные случаи, которые могут встретиться при
решении задач дробно-линейного программирования, их графическая интерпретация.
Приведение задачи
дробно-линейного программирования к задаче линейного программирования. Общий случай. Конкретный пример
приведения.
8. Целочисленные задачи
линейного программирования
Понятие различных
целочисленных задач линейного программирования. Примеры, в случае двух переменных,
целочисленных задач и их особенностей и их графическая интерпретация. Примеры,
показывающие недопустимость округления полученного решения обычной задачи линейного
программирования. Примеры отсутствия решения задач линейного программирования в
целых числах. Примеры задач, имеющих несколько различных решений в целых
числах, доставляющих целевой функции одинаковое значение оптимума.
Метод ветвей и границ для решения задач целочисленного
программирования. Примеры в случае двух переменных и графическая интерпретация.
Алгоритм метода ветвей и границ. Примеры.
9. Двойственные задачи
линейного программирования
Экономическая
интерпретация двойственной задачи на примере задачи об использовании ресурсов при
производстве продукции. Понятия о внешних и внутренних ценах, оптимальные
(двойственные) оценки, объективно обусловленные оценки. Пример экономической
интерпретации двойственной задачи.
Взаимно двойственные задачи. Алгоритм составления двойственной
задачи по отношению к исходной. Их свойства. Примеры.
Теоремы теории
двойственности.
Основное неравенство теории двойственности.
Первая (основная)
теорема двойственности. Экономический смысл первой теоремы двойственности. Различные случаи
решений, которые могут встретиться во взаимно двойственных задачах.
Вторая теорема
двойственности.
Связь между базисными и свободными переменными оптимального решения взаимно
двойственных задач. Примеры. Связь между оптимальными решениями двух взаимно
двойственных задач.
Третья теорема
двойственности.
Анализ оптимального решения исходной задачи с помощью двойственных оценок.
Примеры.
Литература
1. Акулич
И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высш. Шк., 1986
2. Шикин
Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели
в управлении. – М., Дело, 2002
3. Вентцель
Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. – М.: Дрофа, 2004
4. Исследование операций в
экономике / Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: Юнити, 2004
5.
Костевич Л.С. Математическое программирование: Информ.
технологии оптимальных решений. – Мн., Новое знание, 2003
6. Волошин Г.Я. Методы
оптимизации в экономике. – М., Дело и Сервис, 2004
Вопросы по курсу
“Математические модели в
управлении”,
выносимые на итоговую контрольную работу
Осенний семестр
1. Уровни управления.
Взаимосвязь принятия решений с уровнями управления.
2. Понятие цели в
управлении и принятии решения. Взаимосвязь цели с выбором решения.
3. Понятия управляемых и
неуправляемых факторов, их роль в принятии решения. Понятие об ограничениях на
условия, в которых принимаются решения.
4. Различные способы
принятия решений.
5. Основные понятия
Исследования операций – операция, решение, оптимальное решение, Лицо принимающее решение (ЛПР), целевая функция и критерий
(показатель) эффективности, множество допустимых (возможных) решений.
6. Что такое модель и
моделирование.
7. Виды моделей и
моделирования. Их характеристика. Примеры.
8. Понятие об Аналоговых
моделях и аналоговом моделировании, их примеры.
9. Понятие о Физических
моделях и физическом моделировании, их примеры.
10. Понятие о
Математических моделях и математическом моделировании, их примеры
11. Виды математических
моделей. Примеры.
12. Линейные математические
модели, примеры.
13. Нелинейные
математические модели, примеры.
14. Детерминированные
математические модели, примеры.
15. Стохастические
математические модели, примеры. Виды неопределенностей: случайные и непредсказуемые,
примеры.
16. Стационарные
математические модели, примеры.
17. Нестационарные
математические модели, примеры. Математическая модель народонаселения –
Мальтуса и Ферхюльста. Пример математической модели
рекламной компании. Математическая модель зарплаты и занятости населения
18. Модели в виде графов,
пример. Понятие о задаче коммивояжера. Понятие Дерева решений.
19. Сетевые модели, пример
сетевого графика.
20. Оптимизационные
математические модели. Математическое программирование. Задачи линейного и нелинейного
программирования. Понятие о многокритериальных задачах.
21. Постановка общей задачи
оптимизации.
22. Этапы построения
математической модели и принятия решения.
23. Задача линейного
программирования (математическая модель) об использования ресурсов или задача
планирования производства. Пример. Общая постановка задачи линейного
программирования об использовании ресурсов.
24. Задача линейного
программирования (математическая модель) о составлении рациона или задача о
диете. Пример. Общая постановка задачи линейного программирования о составлении
рациона.
25. Транспортная задача
(математическая модель). Пример. Общая постановка транспортной задачи линейного
программирования. Условия баланса транспортной задачи. Открытая и закрытая
транспортная задача. Фиктивный поставщик и фиктивный потребитель.
26. Задачи, сводящиеся к
транспортной задаче линейного программирования. Пример задачи формирования
оптимального штата фирмы. Пример. Общая постановка задачи формирования
оптимального штата фирмы.
27. Целочисленные задачи
линейного программирования. Задача о ранце, формулировка в общем виде.
28. Целочисленные задачи
линейного программирования. Задача закрепления самолетов за воздушными линиями.
Пример и постановка в общем виде.
29. Целочисленные задачи с
булевыми (бинарными, двоичными) переменными. Задача о ранце в общей постановке.
30. Целочисленные задачи с
булевыми (бинарными, двоичными) переменными. Задача о назначениях
(распределительная задача) в общей постановке.
31. Формулировка общей
задачи линейного программирования. Понятие стандартной формы и канонической
формы задач линейного программирования.
32. Сущность графического
метода решения задач линейного программирования с двумя переменными. Понятие
вектора-градиента, показывающего направление возрастания линий уровня целевой
функции.
33. Графическое решение
задач линейного программирования на примере задачи о распределении ресурсов.
Понятие выпуклости области ограничений.
34. Постановка общей задачи
линейного программирования. Различные случаи, которые могут встретиться при
решении задач линейного программирования и их графическая интерпретация.
35. Сущность
симплекс-метода решения задач линейного программирования. Приведение задачи
линейного программирования заданной в стандартной форме к канонической форме.
36. Процедура применения
симплекс-метода на конкретном примере. Запись задачи линейного программирования
в канонической форме, путем введения дополнительных неотрицательных переменных.
37. Симплекс-метод решения
задач линейного программирования. Понятие о базисных переменных и свободных
переменных.
38. Сущность
симплекс-метода решения задач линейного программирования. Понятие о допустимом
решении системы m уравнений-ограничений с n неизвестными и о базисном решении.
39. Симплекс-метод решения
задач линейного программирования. Вершины выпуклого многогранника допустимых решений,и их связь с базисными
решениями.
40. Критерии остановки
симплекс-метода при достигнутом оптимуме целевой функции в случае поиска
максимума и в случае поиска минимума целевой функции.
41. Задачи дробно-линейного
программирования и их примеры. Графическая интерпретация дробно-линейной
целевой функции.
42. Общая постановка задачи
дробно-линейного программирования. Приведите критерий, указывающий направление
вращения вокруг начала координат прямой-целевой
функции в направлении ее возрастания.
43. Метод графического
решения задач дробно-линейного программирования в случае двух переменных.
44. Постановка задачи
дробно-линейного программирования. Различные случаи, которые могут встретиться
при решении задач дробно-линейного программирования, их графическая
интерпретация.
45. Приведение задачи
дробно-линейного программирования к задаче линейного программирования. Общий
случай. Разобрать конкретный пример.
46. Понятие о целочисленных
задачах линейного программирования. Примеры задач целочисленного
программирования и их графическая интерпретация.
47. Целочисленные задачи
линейного программирования. Показать недопустимость поиска целочисленного
решения путем округления решения обычной задачи линейного программирования.
48. Целочисленные задачи
линейного программирования. Привести пример отсутствия решения задач линейного
программирования в целых числах.
49. Целочисленные задачи
линейного программирования. Пример задачи, имеющей несколько различных решений
в целых числах и доставляющих целевой функции одинаковое значение оптимума.
50. Сущность метода ветвей
и границ для решения задач целочисленного программирования. Графическая
интерпретация.
51. Алгоритм метода ветвей
и границ. Графическая интерпретация метода.
52. Экономическая
интерпретация двойственной задачи на примере задачи об использовании ресурсов
при производстве продукции.
53. Понятия об оптимальных
(двойственных) оценках или объективно обусловленных оценках, получаемых из
решения двойственной задачи.
54. Понятие о взаимно
двойственных задачах.
55. Алгоритм составления
двойственной задачи по отношению к исходной.
56. Сопоставление взаимно
двойственных задач.
57. Основное неравенство
теории двойственности. Его экономический смысл.
58. Первая (основная)
теорема двойственности и ее экономический смысл
59. Вторая теорема двойственности.
60. Связь между
оптимальными решениями двух взаимно двойственных задач.
61. Третья теорема
двойственности.
62. Анализ оптимального
решения исходной задачи с помощью двойственных оценок.
Вопросы по курсу
“Математические модели в
управлении”,
выносимые на коллоквиум
Осенний семестр
1. Оптимизационные
математические модели. Математическое программирование. Задачи линейного и
нелинейного программирования. Понятие о многокритериальных задачах.
2. Постановка общей задачи
оптимизации.
3. Этапы построения
математической модели и принятия решения.
4. Задача линейного
программирования (математическая модель) об использования ресурсов или задача
планирования производства. Общая постановка задачи линейного программирования
об использовании ресурсов.
5. Задача линейного
программирования (математическая модель) о составлении рациона или задача о
диете. Общая постановка задачи линейного программирования о составлении
рациона.
6. Транспортная задача
(математическая модель). Общая постановка транспортной задачи линейного
программирования. Условия баланса транспортной задачи. Открытая и закрытая
транспортная задача. Фиктивный поставщик и фиктивный потребитель.
7. Задачи, сводящиеся к
транспортной задаче линейного программирования. Пример задачи формирования
оптимального штата фирмы. Пример. Общая постановка задачи формирования
оптимального штата фирмы.
8. Целочисленные задачи
линейного программирования. Задача о ранце, формулировка в общем виде.
9. Целочисленные задачи
линейного программирования. Задача закрепления самолетов за воздушными линиями.
Пример и постановка в общем виде.
10. Целочисленные задачи с
булевыми (бинарными, двоичными) переменными. Задача о ранце в общей постановке.
11. Целочисленные задачи с
булевыми (бинарными, двоичными) переменными. Задача о назначениях
(распределительная задача) в общей постановке.
12. Формулировка общей
задачи линейного программирования. Понятие стандартной формы и канонической
формы задач линейного программирования.
13. Сущность графического
метода решения задач линейного программирования с двумя переменными.
14. Понятие
вектора-градиента, показывающего направление возрастания линий уровня целевой
функции.
15. Постановка общей задачи
линейного программирования. Различные случаи, которые могут встретиться при
решении задач линейного программирования и их графическая интерпретация.
16. Сущность
симплекс-метода решения задач линейного программирования.
17. Приведение задачи
линейного программирования заданной в стандартной форме к канонической форме.
18. Понятие о базисных
переменных и свободных переменных.
19. Понятие о допустимом
решении системы m уравнений-ограничений с n неизвестными и о базисном решении.
20. Вершины выпуклого
многогранника допустимых решений,и
их связь с базисными решениями.
21. Критерии остановки
симплекс-метода при достигнутом оптимуме целевой функции в случае поиска
максимума и в случае поиска минимума целевой функции.
22. Задачи дробно-линейного
программирования и их примеры.
23. Графическая
интерпретация дробно-линейной целевой функции.
24. Общая постановка задачи
дробно-линейного программирования.
25. Критерий, указывающий
направление вращения вокруг начала координат прямой-целевой функции в направлении ее возрастания.
26. Метод графического
решения задач дробно-линейного программирования в случае двух переменных.
27. Различные случаи,
которые могут встретиться при решении задач дробно-линейного программирования,
их графическая интерпретация.
28. Приведение задачи
дробно-линейного программирования к задаче линейного программирования. Общий
случай. Разобрать конкретный пример.
29. Понятие о целочисленных
задачах линейного программирования. Графическая интерпретация.
30. Показать недопустимость
поиска целочисленного решения путем округления решения обычной задачи линейного
программирования.
31. Привести пример
отсутствия решения задач линейного программирования в целых числах.
32. Пример задачи, имеющей
несколько различных решений в целых числах и доставляющих целевой функции
одинаковое значение оптимума.
33. Сущность метода ветвей
и границ для решения задач целочисленного программирования. Графическая
интерпретация.
34. Решение задач линейного
программирования средствами Excel.
35 Решение транспортных
задач средствами Excel.